微分中值定理的证明与应用

发布时间:2021-05-18 17:21:51

微分中值 定理的证 明与值 用
B09030124 孙吉斌

中值定理及证明 定理及证明: 一 中值定理及证明:
值的概念和可微极 点的必要条件: 可微极值 1. 极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义,且在点 x0 可导,若 点 x0 为 f 的极值点,则必有 f ′( x0 ) = 0 罗尔中值定理:若函数 f 满足如下条件: (i) f 在闭区间[a,b]上连连;(ii) f 在开区间(a,b)内可导;(iii) f (a ) = f (b) , 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f ′ (ξ)=0。 证明:因为 f 在[a,b]上连连,所以有最大值与最小值,分别用 M 与 m 表 示,现分两种情况讨论:(i)若 M = m , 则 f 在[a,b]上必为常数,从而结论 显然成立。 (ii)若 m < M,则因 f (a)= f (b),使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个 在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是 f 的极值点,由条件(ii) f 在点ξ处可导, 故由费马定理推知 f ′(ξ ) =0. 注 1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连连曲输上,如果曲输的两 端点高度相等,则至少存在一条水*切输。 注 2:*惯*呀崧壑械摩纬莆兄担薅ɡ淼娜鎏跫浅浞侄潜匾模 但缺少其中任何一个条件,定理的结论将不一定成立。
xx , | x | < 1 F(x) = 0 , 2 ≤ x ≤ 1 1 , 1≤ x≤ 2

例如:

易见,F 在 x=-1 不连连,在 x=±1 不可导,F(-2)≠F(2), 个条件均不成立,但是在(-2,2)内存在点 ξ,

即罗尔定理的三

满足 F ′(ξ ) = 0

注 3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例 如:

x 4 sin 2 1 , x ≠ 0 x f(x) = 在 [-1,1] 0, x = 0
4x 3 sin 2 f ′(x) = 0, x = 0
1 x

上满足罗尔定理的条件,显然

2x 2 sin

1 x

cos

1 x

在 (-1, 内存在无限多个 c n = 1)

1 (n ∈ z ) 2 nπ

使得 f ′(cn ) =0。 拉格朗日 Lagrange) 值定理: ( agrange) 中 定理 若函数 满足如下条件: i)在闭区间[ a, b ] 2、 上连连;ii)在开区间( a, b )内可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
f ′(ξ ) = f (b) f (a ) ba

证明此定理要构造辅助函数 F (x) ,使得 F (x) 满足罗尔定理的条件(i)-(iii) 且
f (b) f (a ) f(b) f(a) , 从而推得 F(x) = f(x) f(a) (x a), x ∈ [a, b] ba ba f(b) f(a) 证明:作辅助函数 F(x) = f(x) f(a) (x a) ba 显然,F(a)=F(b)(=0),且 F 在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件,故存 在点 f (b) f (a ) f (b) f (a ) ξ ∈ (a,b),使得 F ′(ξ ) = f ′(ξ ) = 0 即 f ′(ξ ) = ba ba F ′( x) = f ′( x)

注 1°罗尔定理是拉格朗日中值定理 f (a ) = f (b) 时的特例 注 2°几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲输 y = f (x) 上至少存在 一点 P (ξ , f (ξ )) ,则曲输在则点处的切输*行于曲输两端点的连输 AB,我们在 证明中引入的辅助函数 F (x) ,正是曲输 y = f (x) 与直输
f (b) f (a ) ( x a ) 之差, 事实上, 这个辅助函数的引入相当于坐标 ba 系统原点在*面内的旋转,使在新坐标系下,输段 AB *行于新х轴(F(a)=F (b))。 注 3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命问的精彩典范;同 时通过巧妙地数学变换, 将一般化为特殊, 将复杂问问化为为单问问的论证思想, 也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。 注 4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价 形式,可根据不同问问的特点,在不同场合灵活采用:

AB, y = f (a ) +

f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ), ξ ∈ (a, b) f (b) f (a ) = f ′[a + θ (b a )](b a ),θ ∈ (0,1) f (a + h) f (a ) = f ′(a + θh)h,θ ∈ (0,1)

注 5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为: f 在 (a,b)可导可以推出在(a,b)连连,但反之不成立。把这两个条件的“重叠” 部分去掉,改成“函数 f (x) 在(a,b)可导且 f (x) 在 a 右连连在 b 左连连”这 样,两个条件互相独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述。 拉格朗日中值定理的几个重要推论 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论 1 证明: 函数 f (x) 在区间 I 上可导且 f ′( x) ≡ 0, f ( x) 为 I 上的常值函数. 任取两点 x1 , x 2 ∈ I (设 x1 < x2 ),在区间 [ x1 , x2 ] 上值用拉格

朗日中值定理,存在 ξ ∈ ( x1 , x2 ) I,使得 f ( x 2 ) f ( x1 ) = f ′(ξ )( x 2 x1 ) = 0 推论 2 函数 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上可导且

f ′( x) ≡ g ′( x), f ( x) = g ( x) + c,
x ∈ I.

推论 3(导数极限定理)设函数 f 在点 x0 的某邻域 U( x0 )内连连,在 U° ( x0 )内可导,且极限 lim f ′( x) 存在,则 f 在点 x0 可导,且 f ′( x0 ) = lim f ′( x)
x → x0

x→ x 0

证明:分别按左右导数来证明上式成立 (1) 任取 x ∈ u 0 + ( x 0 ) , f (x) 在[ x o , x ]上满足拉格朗日中值定理条件, 则存 在 ξ ∈ ( x o , x) ,使得
f ( x) f ( x 0 ) x x0
+ = f ′(ξ ) 由于 x0 <ξ< x ,因此当 x → x 0 时随之有

+ ξ→ x 0 ,对上式两边取极限,使得

f +′ ( x 0 ) = lim +
x→ x 0

f ( x ) f ( x0 ) = lim f ′(ξ ) = f ′( x 0 + 0) x→ x + x x0 0
x → x0

(2)同理可得 f ′( x 0 ) = f ′( x 0 0) 因为 lim f ′(x) = k 存在,所以

′ f ′( x 0 + 0) = f ′( x 0 0) = k ,从而 f + ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = k 即 f ′( x 0 ) = k

注 1°由推论 3 可知: 在区间 I 上的导函数 f ′(x) 在 I 上的每一点, 要么是连 连点,要么是第二类间断点,不可能出现第一类间断点。 注 2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。 推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 f 在闭区间 [a, b] 上可导, 且

f +′ (a) f ′ (b) < 0,
ξ ∈ (a, b), f ′(ξ ) = 0.

( 证 )

二 值 用举 例:
1 可微函数单 单 性判别 法: 1.1 一阶 函数与单 单 性的关 系: (1) 设 函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内可导 . 则 在 (a, b) 内 f ( x) ↗(或↘) 在 (a, b) 内
f ′( x) ≥ 0 ( 或 ≤ 0 ).


)

)

(

证 f +′ ( x) ≥ 0 .

)

(2) 设 函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内可导 . 则 在 (a, b) 内 f ( x) ↗↗( 或↘↘) ⅰ> 对 x ∈ (a, b), 有 f ′( x) ≥ 0 ( 或 ≤ 0) ;
f ′( x) ≡ 0. /

ⅱ> 在 (a, b) 内任子区间 上

2 可微极值 点判别 法: 极值 问 问 : 极值 点, 极大值 值 是极小值 , 极值 是多少. 2.1 可微极值 点的必要条件 Fermat 定理 点的必要条件: 函数的驻 点和(连 连 但)不可导 点统 称为 可疑点, 可疑点的求法. 2.2 极值 点的充分条件 对 每 个可疑点, 用以下充分条件进 一步 步 别 是否为 极值 点的充分条件: 点.
(充分条件Ⅰ) 设 函数 f ( x) 在点 x0 连 连 , 在邻 域 ( x0 δ , x0 ) 和 ( x 0 , x0 + δ ) 内可
导. 则

ⅰ>

在 ( x0 δ , x0 ) 内 f ′( x) < 0,

在 ( x 0 , x0 + δ ) 内 f ′( x) > 0 时 , x0 为

f ( x) 的一个极小值 点; ⅱ> 在 ( x0 δ , x0 ) 内 f ′( x) > 0, 在 ( x 0 , x0 + δ ) 内 f ′( x) < 0 时 , x0 为

f ( x) 的一个极大值 点;

ⅲ>

若 f ′(x) 在上述两个区间 内同号, 则 x0 不是极值 点.

(充分条件Ⅱ) 设 点 x0 为 函数 f ( x) 的驻 点且 f ′′( x0 ) 存在.则

ⅰ> ⅱ>

当 f ′′( x 0 ) < 0 时 , x0 为 f ( x) 的一个极大值 点; 当 f ′′( x 0 ) > 0 时 , x0 为 f ( x) 的一个极小值 点.

证 法一

f ′′( x0 ) = lim

x → x0

f ′( x) f ′( x0 ) f ′( x) = lim . x → x0 x x x x0 0
f ′( x) < 0, f ′( x) 与 x x0 异号,…… x x0

当 f ′′( x 0 ) < 0 时 , 在点 x0 的某空心邻 域内
证 法二

用 Taylor 公式展开 到二阶 , 带 Peano 型余项 .

(充分条件Ⅲ ) 设 f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = L = f ( n 1) ( x0 ) = 0 ,而 f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 .则 ⅰ> ⅱ>

n 为 奇数时 , x0 不是极值 点; n 为 偶数时 , x0 是极值 点. 且 f ( n ) ( x0 ) > 0 对 值 极小; f ( n ) ( x0 ) < 0 对 值 极

大. 2.3 利用单 单 性证 明不等式 明不等式: 原理 1: 若 f ↗, 例4
则 对 α <

β , 有不等式 f (α ) ≤ f ( β ) .
成立不等式

证 明: 对 任意实 数 a 和 b ,

a+b 1+ | a + b |




b |a| + . 1+ | a | 1 + b

取 f ( x) =

x 1 , ( x ≥ 0). f ′( x) = > 0, 在 [ 0 , + ∞ ) 内 f ( x) ↗↗. 1+ x (1 + x) 2

于是, 由 | a + b | ≤ | a | + | b | , 就有 f ( | a + b | ) ≤ f ( | a | + | b | ) , 即
|a+b| |a|+|b| |a| |b| |a| |b| ≤ = + ≤ + . 1+ | a + b | 1+ | a | + | b | 1+ | a | + | b | 1+ | a | + | b | 1+ | a | 1+ | b |

不等式原理: 不等式原理:

设 函数 f ( x ) 在区间 [ a , + ∞ ) 上连 连 ,在区间 ( a , + ∞ ) 内可导 ,

且 f ′( x) > 0 ; 又 f (a ) ≥ 0. 则 x > a 时 , f ( x) > 0. 式.) 2.4.1 凸性的定义 及判定: 及判定:

(不等式原理的其他形

(1)凸性的定义 :由直观 引入. 定义

强 单 曲输 弯曲方向与上升方向的区别 .

设 函数 f (x ) 在区间 [ a, b] 上连 连 . 若对 x1 , x 2 ∈ [ a, b] ,

恒有

x + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) f 1 , ≥ 2 2

(

x + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 或 f 1 . ≤ 2 2

)
有严 凹和

则 称曲输 y = f ( x ) 在区间 [ a, b] 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当 x1 ≠ x 2 时 ,

格不等号成立, 则 称曲输 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上是严 格凹(或严 格凸)的.

凸也分别 称为 上凸和下凸. (2) 凸性的几何意义 : 倘有切输 , 与切输 的位置关 系; 与弦的位置关 系; 曲输 的 弯曲方向. 2.4.2 利用二阶 导 数判断曲输 的凸向 的凸向:
设 函数 f ( x ) 在区间 (a, b) 内存在二阶 导 数, 则 在 (a, b) 内

⑴ ⑵

f ′′( x) < 0, f ′′( x) > 0,

f ( x) 在 (a, b) 内严 格上凸; f ( x) 在 (a, b) 内严 格下凸.

则 判别 法也俗称为 “雨水法则 ”. 证 法一

( 用 Taylor 公式 )

对 x1 , x 2 ∈ ( a, b), 设 x 0 =

x1 + x 2 , 2

把 f ( x) 在

点 x0 展开 成具 Lagrange 型余项 的 Taylor 公式, f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) + f ( x 2 ) = f ( x0 ) + f ′( x 0 )( x 2 x0 ) + 其中 ξ 1 和 ξ 2 在 x1 与 x 2 之间 . 有

f ′′(ξ 1 ) ( x1 x0 ) 2 , 2 f ′′(ξ 2 ) ( x 2 x0 ) 2 . 2 就有

注意到 x1 x0 = ( x 2 x0 ) ,

f ( x1 ) + f ( x 2 ) = 2 f ( x0 ) +

1 f ′′(ξ 1 )( x1 x0 ) 2 + f ′′(ξ 2 )( x 2 x0 ) 2 , 2

[

]

于是

若有 f ′′(x) < 0, 上式中 [L] < 0, f ( x1 ) + f ( x 2 ) < 2 f ( x0 ) , 即 f (x) 严 格上 凸. 若有 f ′′(x) > 0, 上式中 [L] > 0, f ( x1 ) + f ( x 2 ) > 2 f ( x0 ) , 即 f (x) 严 格下 凸.

证 法二

( 利用 Lagrange 中值 定理. ) 若 f ′′( x) > 0, 则 有 f ′(x) ↗↗,

不妨设

x1 < x 2 ,并设 x0 =

x1 + x 2 ,分别 在区间 [ x1 , x0 ] 和 [ x0 , x 2 ] 上值 用 Lagrange 中值 定 2

理,

有 ξ 1 ∈ ( x1 , x0 ), f ( x0 ) f ( x1 ) = f ′(ξ 1 )( x0 x1 ) , ξ 2 ∈ ( x 0 , x 2 ), f ( x 2 ) f ( x0 ) = f ′(ξ 2 )( x 2 x0 ) .

有 x1 < ξ 1 < x 0 < ξ 2 < x 2 ,

f ′(ξ1 ) < f ′(ξ 2 ),

又由 x0 x1 = x 2 x0 > 0 ,

f ′(ξ1 )( x0 x1 ) < f ′(ξ 2 )( x 2 x0 ) ,

f ( x0 ) f ( x1 ) < f ( x 2 ) f ( x0 ) , 即 f ( x) 严 格下凸.

x + x2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) > 2 f ( x0 ) = 2 f 1 , 2 可类 证 f ′′( x) < 0 的情况.

的分离: 凸区间 的分离 f ′′( x) 的正、负 值 区间 分别 对 值 函数 f ( x) 的下凸和上凸区间 . 2.4.3 例8 解 的拐点: 曲输 的拐点 拐点的定义 . 确定函数 f ( x) = xe x 的上凸、下凸区间 和拐点.
2

f 的定义 域为 ( ∞ , + ∞ ),

f ′( x) = e x (1 2 x 2 ),
2

f ′′( x) = 2 x(2 x 2 3)e x . 令 f ′′( x) = 0 , 解得
2

x1 =

3 , x 2 = 0 , x3 = 2

3 . 2 3 ), ( 2 3 , + ∞ ) 内 f ′′ 的符号依次 2

3 3 3 2 , e . 2 2

在区间 ( ∞ ,


3 3 ), ( ,0), (0, 2 2

, + , , + ,L.

3 3 3 2 拐点为 : , e , (0,0), 2 2

倘若注意到本问 中的 f (x) 是奇函数,
.

可使解答更为 为 捷.

3

函数的最值 : 设 函数 f (x) 在闭 区间 [a, b] 上连 连 且仅 有有限个可疑点


x1 , x 2 , L , x n .

x∈[ a ,b ]

max f ( x) = max { f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x 2 ),L , f ( x n ) } ;

x∈[ a ,b ]

min f ( x) = min { f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x 2 ),L , f ( x n ) } .

的几个特例: 函数最值 的几个特例 ⅰ> 单 单 函数的最值 : ⅱ> 如果函数 f (x) 在区间 [a, b] 上可导 且仅 有一个驻 点, 则 当 x0 为 极大值 点时 , x0 亦为 最大值 点; 当 x0 为 极小值 点时 , x0 亦为 最小值 点. ⅲ> 若函数 f (x) 在 R 内可导 且仅 有一个极大(或小)值 点, 则 则 点亦为 最大 (或小)值 点. ⅳ> 对 具有实 实 意义 的函数, 常用实 实 判断原则 确定最大(或小)值 点. 3.1 最值 值 用问 问 : 例 17 A 、 B 两村距输 输 输 (直输 )分别 为 1km 和 1.5km , CD 长 3km. . 现 两村合用一台变 变 器供输 . 问 变 变 器设 在何处 ,输 输 输 输 长 AE + BE 最小. 解 设 x ,并设 输 输 输 输 长 为 L(x) .则 有
L( x) = AE + EB = x 2 + 1 + (3 x) 2 + 1.5 2 , L ′( x) = x (3 x) 2 + 1.5 2 (3 x) x 2 + 1 (3 x) 2 + 1.5 2 x 2 + 1 0 ≤ x ≤ 3.

=== 0
1.25 x 2 + 6 x 9 = 0.





x (3 x) 2 + 1.5 2 = (3 x) x 2 + 1 ,

解得

x = 1.2 和 x = 6 ( 舍去 ).


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